数学线性代数-考研数学 | 线性代数的考试重点和学习方法

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线性代数作为数学的重要分支之一，在考试中占有着相当大的比重。学得好的同学觉得非常简单，无非就是套公式，而学得不好的同学就很发愁。

本期小编整理了线性代数的考试重点和学习方法，希望能对大家有所帮助。

01

重点考点

行列式

题型：通常以填空题、选择题为主，是必考内容，但在试卷中所占比例不是很大。

考点：概念、性质、 运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题都会涉及到行列式。

重点：掌握计算行列式的方法。

主要方法：降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶，但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。

矩阵

矩阵是线性代数的核心。

常见题型：

1. 计算方阵的幂；

2. 与伴随矩阵相关联的命题；

3. 有关初等变换的命题；

4. 有关逆矩阵的计算与证明；

5. 解矩阵方程。

考点：概念、运算及理论贯穿线性代数的始终这部分考点较多。

重点：逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程。

主要方法：

首先用定义法，若计算比较复杂的话分别考虑以下情况：

1. 矩阵三则运算与转置运算可用其性质来计算，牢记矩阵的加减乘法与转置计算的性质；

2. 矩阵幂计算：归纳法、利用对角矩阵的性质、矩阵对角化法、利用初等矩阵的性质等；

3. 逆矩阵计算：初等变换法(矩阵元素为具体数字常用)、伴随矩阵法(小型矩阵常用)、分块矩阵求逆法(大型且能化成对角子块阵或三角块阵适用)、利用线性方程组求逆矩阵法等。

笔记小技巧

我们可以用云记app新建笔记，选择喜欢的纸张模板，用插入图片功能将题干快速插入笔记中，再用手写笔在下方解题，用荧光笔工具将重点标亮，快速制作笔记，随时复习！

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笔记来自@ataRaxia

向量

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。

题型：

1. 判定向量组的线性相关性；

2. 向量组线性相关性的证明；

3. 判定一个向量能否由一向量组线性表出；

4. 向量组的秩和极大无关组的求法；

5. 有关秩的证明；

6. 有关矩阵与向量组等价的命题；

7. 与向量空间有关的命题。

考点（重点）：概念、性质、理解及判定法。

主要方法：

1. 定义法；

2. 利用向量组的线性相关的充要条件；

3. 方程组法；

4. 反证法；

5. 行列式值法；

6. 矩阵秩法。

线性方程组

题型：

1. 线性方程组的求解；

2. 方程组解向量的判别及解的性质；

3. 齐次线性方程组的基础解系；

4. 非齐次线性方程组的通解结构；

5. 两个方程组的公共解；

6. 同解问题。

考点(重点):

1. 齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构；

2. 齐次线性方程组基础解系的求解与证明；

3. 齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。

主要方法（以线性方程组解的结构和求法为例）：

1. 先考虑线性方程组的基础解系；

2. 利用性质（如与矩阵的秩之间的联系等）求解。

笔记来自@ataRaxia

特征值和特征向量

题型：

1. 数值矩阵的特征值和特征向量的求法；

2. 抽象矩阵特征值和特征向量的求法；

3. 判定矩阵的相似对角化；

4. 由特征值或特征向量反求a、有关实对称矩阵的问题。

考点(重点):

1.特征值和特征向量的概念及计算；

2.方阵的相似对角化；

3.实对称矩阵的正交相似对角化。

主要方法：

1. 定义法；

2. 特征方程法；

3. 性质法（运用特征值与特征向量的性质）。

二次型

题型：

1. 二次型表成矩阵形式；

2. 化二次型为标准形；

3. 二次型正定性的判别。

考点（重点）：

1. 掌握二次型及其矩阵等概念；

2. 了解二次型的规范形和惯性定理；

3. 掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形；

4. 理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。

主要方法：

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题。

1. 正确写出二次型的矩阵式是处理二次型问题的一个基础；

2. 配方法（可逆的线性变换）；

3. 正交化。

笔记来自@ataRaxia

02

教辅资料推荐

教材

我们在时间较充足或需要打牢基础的情况下，看教材是很有必要的；反之，如果基础比较好或者时间比较紧，那就可以直接找复习资料看大纲。

作为教材，同济大学数学系的《工程数学–线性代数（第五版）》值得推荐，结合课后习题，能够帮助我们加深对概念、几何意义的记忆和理解。

复习资料

① 李永乐《考研数学复习全书》

这本书在于知识点讲解全面且深浅难度适中，是按照真题方向考试大纲来的，覆盖面比较全。

② 李永乐《线代辅导讲义》

这本书跟视频配套，讲解的方法很好，基本上包含了考研所有题型。直接用可能会有些吃力，因为综合性很强，体系建立得很深，我们可以先听基础课，到强化阶段会好很多。

③ 汤家凤《线代辅导讲义》

这本书重视基础，通俗易懂，做题思路非常清晰，但有些部分却侧重不清晰，显得比较拖沓，不过想拿来打基础已经够了。

习题（和对应老师的网课讲义配套）

① 李永乐《数学基础过关660题》

题量适中，用来打基础十分不错，虽然只有选择与填空题，应用程度不亚于大题。

② 李永乐《数学强化通关330题》

它对《数学基础过关660题》进行了补充，起到总结的作用。

③ 汤家凤《数学接力题典1800题》

题目很基础，题量比较大，但多刷几遍题才有效果，适合练题感，掌握基本的解题技巧。

从多年的考研真题题型来看，涉及各个章节知识点的题型分布相对比较均匀，因此大家应全面复习各个知识点，熟练掌握各种题型的解题方法和技巧。